यदि f(x) = int_{pi^2/16}^{x^2} frac{sin x cdo | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन: $f(x) = \sin x \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin \sqrt{	heta}}{1 + \cos^2 \sqrt{	heta}} \, d	heta$। लीबनीज़ के नियम का उपयोग करके

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$\pi$

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(A) दिया गया फलन: $f(x) = \sin x \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin \sqrt{	heta}}{1 + \cos^2 \sqrt{	heta}} \, d	heta$। लीबनीज़ के नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर: $f'(x) = \cos x \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin \sqrt{	heta}}{1 + \cos^2 \sqrt{	heta}} \, d	heta + \sin x \left[ \frac{\sin \sqrt{x^2}}{1 + \cos^2 \sqrt{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) ight]$। $f'(x) = \cos x \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin \sqrt{	heta}}{1 + \cos^2 \sqrt{	heta}} \, d	heta + \sin x \left[ \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \cdot 2x ight]$। अब,$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर: $f'(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) \int_{\pi^2/16}^{\pi^2/4} \frac{\sin \sqrt{	heta}}{1 + \cos^2 \sqrt{	heta}} \, d	heta + \sin(\frac{\pi}{2}) \left[ \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{1 + \cos^2(\frac{\pi}{2})} \cdot 2(\frac{\pi}{2}) ight]$। चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$: $f'(\frac{\pi}{2}) = 0 \cdot (	ext{समाकल का मान}) + 1 \cdot \left[ \frac{1}{1 + 0} \cdot \pi ight] = \pi$।

यदि $f(x) = \int_{\pi^2/16}^{x^2} \frac{\sin x \cdot \sin \sqrt{\theta}}{1 + \cos^2 \sqrt{\theta}} \, d\theta$ है,तो $f'(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि किसी फलन $y=f(x)$ के लिए,$\int_0^x t f(t) d t=x^2 f(x)$,$x > 0$ और $f(2)=3$ है। तो $f(6)$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ है। तो $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{-5 \pi}^{5 \pi} (1-\cos 2x)^{\frac{5}{2}} dx =$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{48}{x^4} \int _{0}^{x} \frac{t^3}{t^6+1} dt$ का मान $.......$ है।

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